Retrouver de bonnes performances en calcul Une occasion ratée ?

Les programmes 2015-2016 avaient créé l’espoir d’un renouveau de la pédagogie du nombre à l’école. En effet, ils proposaient de renouer avec la culture pédagogique qui était la nôtre entre 1945 et 1986, une période où les élèves calculaient bien mieux. Ainsi, on pouvait espérer une amélioration des performances en calcul des écoliers français. Cependant, de manière récente, de lourds nuages planent sur ce mouvement de rénovation. En effet, le ministère de l’Éducation nationale actuel ne semble pas s’inscrire dans cette perspective. Revenons en 1986, date d’un changement radical dans la pédagogie du nombre en France1.

1986, un changement radical dans la pédagogie du nombre en France

Le 30 janvier 1986, Jean-Pierre Chevènement signe une circulaire précisant le rôle et les missions de l’école maternelle. Or, de façon surprenante, on y lit que « progressivement, l’enfant découvre et construit le nombre. Il apprend et récite la comptine numérique »2. En associant étroitement la construction du nombre à l’apprentissage de la comptine numérique et, donc, au comptage, cette circulaire prend en effet le contrepied de toutes les recommandations faites depuis 1945, y compris celles qui ont suivi la réforme dite des « mathématiques modernes » en 1970.

Citons par exemple un couple de pédagogues, R. et M. Fareng, conseillers pédagogiques d’une célèbre inspectrice générale, Suzanne Herbinière-Lebert : « […] cette façon empirique [le comptage] fait acquérir à force de répétitions la liaison entre le nom des nombres, l’écriture du chiffre, la position de ce nombre dans la suite des autres, mais elle gêne la représentation du nombre, l’opération mentale, en un mot, elle empêche l’enfant de penser, de calculer »3. Ainsi, l’enseignement du comptage n’était pas recommandé pour une raison majeure : il empêcherait l’enfant de penser. On ne peut guère imaginer de reproche plus grave sous la plume d’un pédagogue.

Pourquoi l’enseignement du comptage-numérotage empêche l’enfant de « penser » ?

Précisons de quelle nature est l’obstacle à la pensée évoqué par les Fareng. Comprendre le nombre 5, ce n’est pas seulement savoir représenter une quantité de 5 unités en comptant-numérotant 12345, 5 (la première occurrence de « 5 » est une sorte de numéro, la seconde désigne la quantité). En effet, il faut, de plus, maîtriser les décompositions du nombre 5, c’est-à-dire savoir qu’on peut former une quantité de 5 unités en ajoutant une nouvelle unité à une quantité de 4, en ajoutant 2 unités à une quantité de 3, etc. Toutes ces façons de faire conduisent à des quantités de même taille. C’est ainsi qu’un autre célèbre pédagogue, Henri Canac, sous-directeur de l’ENS de Saint-Cloud, écrivait en 1955 que connaître un nombre donné, c’est maîtriser « ses diverses décompositions en nombres moins élevés que lui »4 (5 = 4 + 1 ; 5 = 3 + 2, etc.). On pourrait ajouter : c’est de plus savoir l’utiliser pour en former de plus grands (5 + 1 = 6 ; 5 + 2 = 7, etc.).

Le nombre sert à garder la mémoire des quantités, certes, mais il permet surtout de mettre en relation les quantités entre elles, ce qu’on appelle calculer.

C’est ainsi qu’au cours préparatoire (CP), deux mois après la rentrée, on reconnaît facilement les quelques élèves qui n’ont pas encore compris la nature relationnelle du nombre et qui risquent un échec grave et prolongé. Il suffit d’utiliser le petit test suivant. Face à un tas de jetons, on demande à l’enfant d’en donner 4. Sauf cas de handicap, il sait le faire en numérotant les jetons qu’il sort un à un du tas : 1234, 4. Cependant, si l’adulte dit qu’il a changé d’avis et qu’il veut 5 jetons, l’enfant en difficulté est obligé de reprendre le numérotage depuis le début 12345, 5. Il ne sait pas qu’une quantité de 5 jetons s’obtient en ajoutant 1 nouveau jeton à la quantité de 4 déjà formée (5 = 4 + 1), il est enfermé dans la représentation des quantités par une suite de numéros : 5, c’est 12345, 5 et ce n’est rien d’autre.

On se rend mieux compte des limites d’un enseignement des nombres focalisé sur celui du comptage-numérotage, en se livrant à une petite simulation : celle qui consiste à compter avec les lettres de l’alphabet plutôt qu’avec les chiffres. Supposons que, lors de la préparation d’un banquet, un certain nombre d’assiettes soient déjà disposées sur la table. Pour aller chercher la même quantité de verres, une possibilité consiste à compter les assiettes (avec les lettres de l’alphabet, donc) : A, B, C… P, Q, R, par exemple, avant de se diriger vers le stock de verres et de construire une collection en comptant à l’identique A, B, C… P, Q, R. En effet,  le fait que ces deux comptages soient identiques assure qu’il y aura la même quantité de verres que d’assiettes (on peut d’ailleurs dire qu’il y a R assiettes et R verres).

La suite des lettres de l’alphabet, comme celle des écritures chiffrées, permet donc de garder la mémoire des quantités (seulement jusqu’à Z, évidemment). Cependant, nous n’avons aucune idée précise du nombre correspondant à « R » : de combien dépasse-t-il dix ? Quel est son écart avec vingt ? Le comptage-numérotage avec les lettres de l’alphabet, s’il permet de garder la mémoire des quantités, ne donne pas accès aux nombres correspondants parce qu’il ne permet pas de connaître les différences entre ces quantités. On ne dispose notamment pas des repères privilégiés que sont 10, 20, 30, etc.

Pourquoi l’enseignement du comptage-numérotage empêche l’enfant de calculer ?

Continuons notre simulation de la représentation des quantités avec des lettres de l’alphabet. Ainsi, « R » est une quantité que nous saurions former en comptant jusqu’à R depuis le début, « C » également. Cette dernière est très petite (c’est 3) et, donc, nous en avons une bonne conception, contrairement à « R ». Or, il est très facile d’enseigner comment obtenir le résultat de l’addition « R + C » en utilisant une suite des lettres écrites dans l’ordre alphabétique. Il suffit en effet de mettre le doigt sur la lettre R dans cette suite et de le déplacer successivement sur les trois lettres suivant R en comptant A, B, C. L’élève constate alors que son doigt est sur la lettre U et il peut dire que « R + C = U ». Le résultat est exact : si nous formons une quantité R, puis une quantité U et si nous les réunissons, le comptage avec les lettres montre que la nouvelle quantité est la quantité U. Cependant, nous ne connaissons pas plus le nombre U que nous ne connaissions le nombre R. L’élève trouve la réponse à l’addition sans connaître les nombres sur lesquels il travaille.

Les élèves fragiles s’enferment dans cette stratégie de comptage-numérotage, ils ne mémorisent pas les résultats d’additions élémentaires.

Henri Canac écrivait à propos de ces élèves : « Dans de nombreux cours élémentaires, ou même cours moyens, on trouve souvent de grands benêts qui comptent sur leurs doigts (en cachette lorsque M. l’inspecteur est là) ou qui, sommés de résoudre une simple opération comme 8 + 5, se récitent intérieurement à eux-mêmes : 8, 9, 10, 11, 12, 13 en évoquant des doigts imaginaires »5. Henri Canac qualifiait ces élèves de « mal débutés », du fait d’une erreur pédagogique majeure : l’apprentissage initial du comptage-numérotage à l’école.

Aujourd’hui, toutes les études scientifiques concernant les élèves en grande difficulté dans leurs apprentissages numériques montrent que ce sont des enfants qui sont avec les nombres comme nous sommes avec les lettres de l’alphabet, enfermés dans des procédures de comptage de bas niveau (voir par exemple Inserm, 20076). De plus, les tentatives d’apprentissage « par cœur » du répertoire additif échouent : les tables de multiplications s’apprennent effectivement par cœur (il existe des façons intelligentes de le faire), pas les tables d’additions.

Quand les sciences cognitives faisaient fausse route

Comment la circulaire du 30 janvier 1986 a-t-elle été possible ? Peu de temps auparavant, en 1983, une chercheuse états-unienne, Rochel Gelman, avait publié un article en français dans la revue La Recherche. Il s’intitulait « Les bébés et le calcul »7. Dans le domaine des apprentissages numériques, Rochel Gelman est la chercheuse en sciences cognitives dont l’influence a été la plus importante ces trente dernières années. En fait, le titre « Les bébés et le comptage » aurait été préférable parce que sa théorie consiste à affirmer que les bébés comprennent de manière innée les « principes » de la représentation des quantités à l’aide d’un comptage-numérotage. À savoir : 1°) le fait que chaque numéro doit être apparié avec une unité et une seule (principe de correspondance terme à terme), 2°) le principe selon lequel l’ordre des numéros doit être respecté (principe d’ordre stable) et 3°) celui selon lequel le dernier mot prononcé n’est pas seulement un numéro parce qu’il désigne la quantité (principe qu’elle appelle cardinal).

Bref, selon Rochel Gelman, les enfants auraient de manière innée l’équipement cérébral leur permettant de comprendre comment le comptage-numérotage 12345, 5 permet de garder la mémoire d’une quantité. Il n’y avait plus qu’un pas à franchir pour décider d’enseigner le comptage-numérotage à l’école maternelle, faisant fi des avertissements des pédagogues français de la période 1945-1986 quant aux conséquences à long terme d’un tel enseignement.

C’est ce qui fut fait avec la circulaire du 30 janvier 1986. Concernant la construction du nombre, elle avait été rédigée de concert par une inspectrice générale, Josette Fargeas, et par une toute nouvelle équipe de l’Institut national de recherche pédagogique (INRP). En 1990, dans la préface d’un ouvrage de cette équipe, Josette Fargeas écrivait : « s’agissant des jeunes enfants, l’hypothèse est posée que dans la genèse du concept de nombre, le nombre pour compter joue le premier rôle et le plus important »8. Un cadre théorique parfaitement clair émerge de l’ouvrage : la première fonction du nombre n’est plus de mettre en relation les quantités (de calculer), elle est de garder la mémoire des quantités grâce au comptage-numérotage. C’est cette conception du progrès qui a prévalu dans les programmes pour l’école française entre 1986 et 2015 et, il faut le souligner, cette conception se fondait sur des travaux en sciences cognitives.

L’effondrement des performances en calcul dans la période 1987-1999

Des chercheurs de la DEPP (note 08.38 de décembre 2008) ont comparé les performances entre 1987 et 1999 d’un échantillon représentatif des élèves de CM2, en s’appuyant sur les items communs à différentes passations pour rendre la comparaison possible9. Le résultat est très clair : on observe un effondrement des performances en calcul entre 1987 et 1999. La moyenne baisse des deux tiers de l’écart-type initial, ce qui est considérable. Dans des enquêtes analogues, cela correspond à une année entière d’apprentissage en moins.

Certaines causes peuvent être écartées10. La période pendant laquelle les performances se dégradent (87-99) n’est pas de celles qui voient les moyens accordés à l’école s’amenuiser : il n’y a pas de fermetures de classes, pas de diminution du nombre de jours de travail par semaine ; la formation initiale et continue est alors la plus longue que l’école française ait jamais connue, etc. On pourrait penser à évoquer le phénomène de ghettoïsation des banlieues : la condition sociale de certains enfants se dégradant pendant cette période, leurs performances en calcul auraient fait de même. Mais la même étude montre que les performances en calcul des enfants de cadres se sont dégradées dans les mêmes proportions que celles des enfants d’ouvriers. On pourrait penser à évoquer des phénomènes généraux tels que le temps de sommeil, le temps passé devant la PlayStation, etc. Mais la même étude montre que les performances en lecture ne se dégradent pas entre 1987 et 1997 et on comprendrait mal que ces facteurs généraux n’aient dégradé que les performances en calcul et pas les autres.

Reste un facteur d’ordre didactique : la baisse constatée suit très exactement le moment où le ministère se met à recommander l’enseignement du comptage-numérotage, à rebours de ce que tous les pédagogues français préconisaient auparavant.

Dans cette perspective comparatiste, un dernier point mérite d’être signalé. Les élèves de CM2 qui, en 1987, calculaient bien mieux qu’aujourd’hui, étaient scolarisés en maternelle avant 1982 c’est-à-dire à une époque où il n’y avait aucun enseignement des nombres en maternelle et au début du CP. Avant 1986, les premières leçons sur les nombres commençaient en décembre au CP ; arrivés en CM2, ces élèves qui avaient commencé tardivement leur apprentissage scolaire des nombres, avaient une année d’avance environ sur ceux d’aujourd’hui ! Il semblerait qu’il vaut mieux ne rien enseigner à l’école maternelle que d’y enseigner le comptage-numérotage.

À partir de 2015, sciences cognitives et pédagogie commencent à se réconcilier

Les programmes 2015 pour la maternelle effectuent un véritable changement de cap. On y lit que « les activités de dénombrement éviteront le comptage-numérotage ». Par ailleurs, les attendus de fin de maternelle fixent alors comme objectif les dix premiers nombres seulement, mais, évidemment, ils mettent l’accent sur la maîtrise de leurs décompositions.

Il faut noter également qu’un appui de taille est apporté par certaines recherches en sciences cognitives récentes. Si, depuis les travaux de Jean Piaget, aucun grand théoricien de la genèse du nombre n’avait remis en question l’idée que l’apprentissage du comptage est central dans la construction du nombre, c’est désormais chose faite : Elisabeth Spelke, professeure à Harvard et nouvelle membre du Conseil scientifique de l’Éducation nationale, prend nettement position dans ce qu’il faut considérer comme l’article scientifique de l’année 2017 : « [I reject] the thesis that counting is central to number »11.

Quand on connaît la littérature scientifique sur le sujet, cette minimisation du rôle du comptage dans les progrès en matière d’enseignement du nombre apparaît comme un véritable tournant, tournant qui est en phase avec les programmes 2015-2016.

Il convient cependant de noter qu’aujourd’hui encore, l’enseignement du comptage-numérotage reste considéré comme allant de soi chez une majorité de chercheurs en psychologie cognitive du nombre, dont Stanislas Dehaene, le président du Conseil scientifique de l’Éducation nationale. Ces chercheurs ignorent généralement l’histoire des pratiques pédagogiques en France et, donc, le rejet de cet enseignement par nos prédécesseurs.

On n’en est donc qu’au début d’un changement de paradigme dans la recherche scientifique dans ce domaine.

Les pratiques pédagogiques en France doivent-elle attendre que la recherche en sciences cognitives ait achevé sa mue avant de renouer avec ce qu’elles étaient avant 1986 ? Il faut vraisemblablement répondre négativement à cette question.

Enseigner le comptage-dénombrement plutôt que le comptage-numérotage

Si le comptage-numérotage n’est pas central dans la construction du nombre, quel est le principal facteur qui expliquerait le progrès ? Elisabeth Spelke considère qu’il est d’ordre langagier. Par conséquent, la manière dont les adultes parlent les nombres aux enfants serait cruciale : « 5 jetons, c’est 3 jetons et encore 2 jetons ; c’est aussi 4 jetons et encore 1 jeton », par exemple. Sa théorie est complètement cohérente avec les recommandations des grands pédagogues de la période 1945-70 et avec celles des programmes 2015-2016. Elle conduit notamment à renouer avec la façon dont le comptage était enseigné avant 1970, très différente du comptage-numérotage.

Rapportons ces propos de René Brandicourt, un directeur d’école d’application qui, en 1962, cosigne un livre avec Jeanine Bandet, l’inspectrice générale de l’époque, et Gaston Mialaret, un grand universitaire dans le domaine de l’éducation. Il imagine la situation où il est devant des assiettes alignées et où, pour les dénombrer, il les prend une à une afin de former une pile : « À ce sujet […] nous signalons le danger qu’il y a, dans le comptage, à énoncer les nombres en prenant les objets un à un. C’est en posant la 2e assiette sur la 1ère que je dis deux, non en la prenant en mains (la 2e n’est pas deux, elle est une) ; ibid. pour la 3e, la 4e… C’est en examinant la pile successivement constituée que j’énonce deux, trois, quatre… six »12.

Bien entendu, cet enseignement peut se faire de manière encore plus explicite en disant : « 1, plus 1, 2 ; plus 1, 3 ; plus 1, 4… ». Lorsqu’on compte ainsi, chacun des mots prononcés 2, 3, 4… désigne une quantité, il n’est pas un numéro. Cette façon de compter, que j’ai appelée « comptage-dénombrement », est recommandée dans le programme 2015-2016. Enseigner le comptage-dénombrement, c’est enseigner le comptage en explicitant le calcul « +1 répété » qui lui est sous-jacent, c’est faire rentrer d’emblée l’enfant dans le calcul.

Le mouvement de rénovation sera-t-il poursuivi ?

Divers éléments conduisent malheureusement à se poser la question. Tout d’abord, l’évaluation proposée aux élèves de CP à la rentrée 2017 ne testait d’aucune façon le fait qu’ils savaient compter-dénombrer.

Considérons ensuite le rapport Villani-Torossian. S’il affiche clairement qu’il convient de mettre en avant l’apprentissage du calcul dans les petites classes, il ne souligne pas que le calcul et le comptage-numérotage sont en concurrence et il ne met pas en garde contre un entraînement à l’emploi de cette procédure à l’école. Il n’explicite même pas la différence entre comptage-numérotage et comptage-dénombrement.

Tout au contraire, ce rapport recommande l’usage de la prétendue traduction française de la « méthode Singapour ». En mathématiques, la culture pédagogique des pays asiatiques est proche de celle de notre pays entre 1945 et 1970 et on n’imagine pas l’école de Singapour enseigner le comptage-numérotage. De fait, quand on compare la soi-disant « méthode de Singapour GS » commercialisée dans notre pays avec les ressources que l’éditeur de la méthode originale publie pour le Kindergarten, l’écart est considérable. En France, aujourd’hui, il n’y a pas pire méthode pour la grande section de maternelle que celle qui se prétend « de Singapour ». Le guide pédagogique du CP, lui, est un véritable cours d’enseignement du comptage-numérotage selon les principes de Rochel Gelman. Le fait que la responsable de l’édition française a grandi aux États-Unis, explique vraisemblablement ce phénomène surprenant.

Enfin, de nouveaux programmes pour l’école maternelle sont annoncés. Reprendront-ils la recommandation de se méfier d’un enseignement du comptage-numérotage et de favoriser un accès direct au calcul ? On peut en douter du fait que cette idée est absente de la note de service ministérielle du 26 avril 2018 consacrée à l’enseignement du calcul.

Il faut bien avoir conscience que l’enseignement du comptage-numérotage correspond à ce que font spontanément la plupart des parents. Il s’agit d’une pédagogie du nombre de sens commun. Tout texte qui ne présente pas les deux manières d’enseigner le comptage a peu de chance de permettre aux enseignants de se méfier de l’une pour privilégier l’autre.

Toutes ces questions ont été largement débattues lors du processus d’élaboration du programme maternelle 2015. L’aspect mécanique du comptage-numérotage y a été très critiqué, y compris par l’inspection générale. Personnellement, j’ai insisté sur ce phénomène largement évoqué ici : même lorsque l’enfant fait un usage intelligent du comptage-numérotage (si l’on compte 12345, 5 poupées et 12345, 5 robes, il y a la même quantité de poupées que de robes), le progrès vers la compréhension du fait que 5, c’est 4 + 1, ne s’en trouve guère favorisé. Les pédagogues d’avant 1970 allaient plus loin : ils pensaient que l’enseignement du comptage-numérotage fait obstacle au progrès. L’effondrement des performances des élèves dès que l’école française s’est mise à l’enseigner conforte leur point de vue. Il faut espérer que le prochain programme pour l’école maternelle, dans sa partie mathématiques, retiendra ces leçons de l’histoire des pratiques scolaires en France.

Rémi Brissiaud
Maître de Conférences honoraire de psychologie cognitive

Chercheur associé au Laboratoire Paragraphe, EA 349 (Université Paris 8)
Membre du conseil scientifique de l’AGEEM

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  1.  Ce texte reprend des extraits de divers articles que j’ai publiés dans le journal en ligne appelé le Café pédagogique
  2.  Ministère de l’Éducation nationale, L’école maternelle, son rôle, ses missions, Centre national de documentation, Paris, 1986.
  3.  R. Fareng et M. Fareng, Comment faire ? L’apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans, Paris, Fernand Nathan, 1966.
  4.  Henri Canac, « L’initiation au calcul entre 5 et 7 ans », in François Brachet, Henri Canac et Eugène Delaunay (ed.), L’enfant et le nombre, Paris, Didier, 1955, p. 9-27.
  5.  Op.  cit.
  6.  Inserm, Dyslexie, dysorthographie, dyscalculie. Bilan des données scientifiques, Parsi, les éditions Inserm, 2007.
  7.  Rochel Gelman, « Les bébés et le calcul », La Recherche, n° 14 (149), 1983, p. 1382-1389.
  8.  Équipe de recherche mathématiques à l’école élémentaire – INRP, Apprentissages numériques, cycle des apprentissages, grande section de maternelle, Hatier, Paris, 1990.
  9.  Thierry Rocher, « Lire, écrire, compter : les performances des élèves de CM2 à vingt ans d’intervalle 1987-2007», note 08.38 de la Direction de l’évaluation, de la prospective  et de la performance, décembre 2008.
  10.  Rémi Brissiaud, (2012). Dyscalculiques ou « mal débutés » ? Les réponses de la comparaison 87-99-2007 (DEPP). ANAE. Approche neuropsychologique des apprentissages chez l’enfant, n° 120-121, 2012, p. 503-508. 
  11.  Elisabeth Spelke, « Core Knowledge, Language, and Number », Language Learning and Development, 13- Issue 2: The Representation of Number: Origins and Development, 2017.
  12.  René Brandicourt, « Des principes à la pratique pédagogique », in Jeanne Bandet, René Brandicourt et Gaston Mialaret (Eds) : Les débuts du calcul, p. 87-108, Éditions Bourrelier, Paris, 1962.